เอกนาม พหุนาม

เอกนาม คือ นิพจน์ที่สามารถเขียนให้อยู่ในรูปการคูณของค่าคงตัวกับตัวแปรตั้งแต่หนึ่งตัวขึ้นไป  โดยที่เลขชี้กำลังของตัวแปรแต่ละตัวเป็นศูนย์หรือจำนวนเต็มบวก

พหุนาม คือ นิพจน์สามารถเขียนในรูปเอกนามหรือสามารถเขียนในรูปการบวกของเอกนามตั้ง
แต่สองเอกนามขึ้นไป
ตัวประกอบของพหุนาม คือ การเขียนพหุนามนั้นในรูปของการคูณของพหุนามที่มีดีกรีต่ำกว่า
 พหุนามดีกรีสองตัวแปรเดียว คือ พหุนามที่เขียนได้ในรูป ax² + bx +cเมื่อ a, b, c เป็นค่าคงตัวที่a 0 และ x  เป็นตัวแปร
การแยกตัวประกอบของพหุนามดีกรีสอง
 x²+ bx + c เมื่อ b และ c เป็นจำนวนเต็ม ทำได้เมื่อสามารถหาจำนวนเต็มสองจำนวนที่คูณกันได้ c และบวกกันได้  b ให้ d และ e แทนจำนวนเต็มสองจำนวนดังกล่าว ดังนั้น
 de = c
 d + e = b
 ฉะนั้น x² + bx + c = x² + (d + e)x + de
                              = ( x² + dx ) + ( ex + de )
                              = ( x + d )x + ( x + d )e
                              = ( x + d ) ( x + e )
 ดังนั้น x² + bx +c แยกตัวประกอบได้เป็น ( x + d ) ( x + e )
 
ตัวอย่าง
 (6x-5) (x+1) = (6x-5) (x) + (6x-5) (1)
 = 6x² – 5x + 6x – 5
 = 6x² + (5x+6x) – 5
 = 6x² -5x +6x -5
 = 6x² + x – 5
 จากตัวอย่างข้างต้น อาจแสดงวิธีหาพหุนามที่เป็นผลลัพธ์ได้ดังนี้
 1. (6x – 5)(x + 1) = 6x²  - พจน์หน้าของพหุนามวงเล็บแรก x พจน์หน้าของพหุนามวงเล็บหลัง = พจน์หน้าของพหุนามของผลลัพธ์
 2. (6x - 5)(x + 1)  = -5 -พจน์หลังของพหุนามวงเล็บแรก x พจน์หลังของพหุนามวงเล็บหลัง = พจน์หลังของพหุนามของผลลัพธ์
 3. (6x – 5)(x + 1) = 6x + (-5x ) - พจน์หน้าของพหุนามวงเล็บแรก x พจน์หลังของพหุนามวงเล็บหลัง + พจน์หน้าของพหุนามวงเล็บแรก x  พจน์หน้าของพหุนามวงเล็บหลัง

พจน์กลางของพหุนามที่เป็นผลลัพธ์
 การแยกตัวประกอบของพหุนามดีกรีสองที่เป็นกำลังสองสมบูรณ์
 กำลังสองสมบูรณ์ คือ พหุนามดีกรีสองที่แยกตัวประกอบแล้วได้ตัวประกอบเป็นพหุนามดีกรีหนึ่งซ้ำกัน
 ดังนั้น พหุนามดีกรีสองที่เป็นกำลังสองสมบูรณ์แยกตัวประกอบได้ดังนี้
 x² + 2ax + a² = ( x + a )²
 x² – 2ax + a² = ( x – a )²
 
รูปทั่วไปของพหุนามที่เป็นกำลังสองสมบูรณ์คือ a² +2ab + b² และ a² -2ab +b² เมื่อ a และ b  เป็นพหุนาม  แยกตัวประกอบได้ดังนี้
 
สูตร a² +2ab + b² = ( a + b )²
 a² -2ab +b² = (a-b)²
      
การแยกตัวประกอบของพหุนามดีกรีสองที่เป็นผลต่างของกำลังสอง
 พหุนามดีกรีสองที่สามารถเขียนได้ในรูป x² – a² เมื่อ a เป็นจำนวนจริงบวกเรียกว่า ผลต่างของกำลังสอง
 จาก x² – a² สามารถแยกตัวประกอบได้ดังนี้ x² – a² = ( x + a ) ( x – a )
 
สูตร x² – a² = ( x + a ) (x-a)     
 การแยกตัวประกอบของพหุนามดีกรีสองโดยวิธีทำเป็นกำลังสองสมบูรณ์  
 การแยกตัวประกอบของพหุนามดีกรีสอง x² + bx + c โดยวิธีทำเป็นกำลังสองสมบูรณ์ สรุปได้คือ
 1. จัดพหุนามที่กำหนดให้อยู่ในรูป x² + 2px +c หรือ x² -2px +c เมื่อ p เป็นจำนวนจริงบวก
 2. ทำบางส่วนของพหุนามที่จัดไว้ในข้อ 1 ให้อยู่ในรูปกำลังสองสมบูรณ์ โดยนำกำลังสองของ p  บวกเข้าและลบออกดังนี้
 x² + 2px +c = ( x² + 2px + p² ) – p² + c
 = ( x + p)² – ( p² - c )
 x² – 2px + c = ( x² - 2px + p² ) – p² + c
 = ( x - p)² – ( p² - c )
 3. ถ้า p² – c = d² เมื่อ d เป็นจำนวนจริงบวกจากข้อ 2 จะได้
 x² + 2px + c = ( x + p)² – d²
 x² - 2px + c = ( x - p)² – d²
 4. แยกตัวประกอบของ ( x + p )² – d² หรือ ( x – p )² – d² โดยใช้สูตรการแยกตัวประกอบของผลต่างของกำลังสอง
 
การแยกตัวประกอบของพหุนามดีกรีสูงกว่าสองที่มีสัมประสิทธิ์เป็นจำนวนเต็ม
 พหุนามที่อยู่ในรูป A³ + B³ และ A³ - B³ ว่าผลบวกของกำลังสาม ตามลำดับ
 
สูตร A³ + B³ = ( A + B )( A² –AB + B²)
 A³ - B³ = ( A - B )( A² +AB + B²)

เราสามารถหาคำตอบของสมการ ax² + bx + c = 0
 ได้จากสูตร x = เมื่อ a, b, c เป็นค่าคงตัว a 0 และ b² – 4ac 0
 สมการกำลังสอง ax² + bx + c = 0 เมื่อ a, b, c เป็นค่าคงตัว a 0 และ b² – 4ac < 0  ไม่มีจำนวนจริงเป็นคำตอบ
 

ขั้นตอนในการหาคำตอบปัญหาโดยใช้สมการ
 1. อ่านปัญหา
 2. สมมุติตัวแปรหนึ่งตัว แทนจำนวนที่ต้องการทราบค่า
 3. หาสมการที่แสดงความเกี่ยวข้องของตัวแปรกับจำนวนอื่นๆ ที่ทราบค่า
 4. แก้สมการ
 5. ใช้คำตอบของสมการหาคำตอบของปัญหา
 6. ตรวจคำตอบ